Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы. Вычисление ранга матрицы методом Гаусса

Рангомматрицы А (обозначение rangA) называ­ется наибольшее натуральное число k, для которого существует не рав­ный нулю определитель k-то порядка, порожденный матрицей А.

Выделим в матрице А k строк и k столбцов, где k ≤ т, п (размерность м. А). Элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образу­ют квадратную матрицу, которая порождает определитель k -гo поряд­ка.

Определитель порядка k, составленный из элементов стоящих на пересечении выделенных k строк и k столбцов наз. минором или определителем порожденным матрицей А.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется, если:

1) поменять местами любые два парал. ряда

2) умножить каждый элемент ряда на один и тот же не нулевой множитель

3) прибавить к элементам ряда соответствующие элементы другого парал. ряда, умноженные на один и тот же множитель.

Такие преобразования наз. эквивалентными.

Две матрицы наз. эквивалентными, если одна матрица получена из другой с помощью эквивалентных преобразований (А~В).

Базисным минором наз. всякий отличный от нуля минор, порядок кот. равен рангу данной матрицы.

Метод единиц и нулей нахождения ранга матриц: с помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к виду, когда каждый её ряд будет состоять из нулей либо из нулей и одной единицы, тогда число оставшихся единиц равно рангу исходной матрицы.

23. Обратная матрица и её вычисления.

Если определительматрицы А, равен нулю, то матрица А называется вырожденной, в противном случае матрица А называется невырожденной.

Если А - квадратная невырожденная матрица, то обратной для нее матрицей назы­вается матрица, обозначаемая А-1 и удовлетворяющая условиям:

А-А-1= А-1-А = Е, где Е- единичная матрица.

Для невырожденной матрицы А всегда сущ. Единственная обратная матрица А-1 , кот. определяется формулой:

А-1 = × A*,

А =

Где матрица А* назыв. присоединённой.

А* =

Aij – алгебраическое дополнение элемента aij матрицы А.

Aij = (-1) i+j × Mij


Прочитайте также: